ラプラス変換とは、（超簡単に言うと）微分や積分を簡単にできるようにする変換です。微分や積分が含まれる方程式を解くときなどに使うと計算が簡単になることがあります。ラプラス変換された簡単な状態で一旦方程式を解いた後、ラプラス逆変換を用いて元に戻します。
ラプラス変換・逆変換の定義式は以下ですが、
$$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\int^{∞}_{a} f(t) e^{-st} dt$$
$$f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\lim_{p→∞}\frac{1} {2\pi i}\int^{c+ip}_{c-ip} F(s) e^{st} ds$$
計算に時間がかかるので、基本的には変換表を覚えて使います。
| \(f(t)\)：変換前 | \(F(s)\)：変換後 | |
| \(u(t)\) | \(\frac {1} {s}\) | |
| \(a\)（定数） | \(\frac {a} {s}\) | \(f(t)=1\)なら\(\frac {1} {s}\) よく使う |
| \(t\) | \(\frac {1} {s^2}\) | よく使う |
| \(t^n\) | \(\frac {n!} {s^{n+1}}\) | |
| \(e^{-at}\) | \(\frac {1} {s+a}\) | よく使う |
| \(te^{-at}\) | \(\frac {1} {(s+a)^2}\) | |
| \(t^ne^{-at}\) | \(\frac {n!} {(s+a)^{n+1}}\) | |
| \(\sinωt\) | \(\frac {ω} {s^2+ω^2}\) | よく使う |
| \(\cosωt\) | \(\frac {s} {s^2+ω^2}\) | よく使う |
| \(e^{-at}\sinωt\) | \(\frac {ω} {(s+a)^2+ω^2}\) | |
| \(e^{-at}\cosωt\) | \(\frac {s+a} {(s+a)^2+ω^2}\) |
コメント